如图，已知：A（-2，-3），C（0，-1），B点与A点关于C点中心对称，抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点且对称轴为x=-1．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB下方的抛物线上求一点P，使△ABP的面积最

Question

如图，已知：A（-2，-3），C（0，-1），B点与A点关于C点中心对称，抛物线y=ax²+bx+c过A、B两点且对称轴为x=-1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AB下方的抛物线上求一点P，使△ABP的面积最大，求出P点的坐标和△ABP面积的最大值．

Answer 1

（1）∵A、B关于C中心对称，A（-2，-3），C（0，-1），
∴B（2，1），
由抛物线对称轴为x=-1，得到

-(b)/(2a)=-1

4a-2b+c=-3

4a+2b+c=1

，
解得：

a=(1)/(2)

b=1

c=-3

，
则抛物线解析式为y=(1)/(2)x²+x-3；
（2）过P作PQ⊥x轴，交AB于点Q，AF⊥PQ，BE⊥PQ，
设P坐标为（m，(1)/(2)m²+m-4），则Q（m，m-1），
∴PQ=m-1-(1)/(2)m²-m+4=-(1)/(2)m²+3，
∴S_△ABP=S_△APQ+S_△BPQ=(1)/(2)PQ•AF+(1)/(2)PQ•BE=(1)/(2)PQ•（AF+BE）=(1)/(2)•（-(1)/(2)m²+3）•（2+2）=-m²+6，
∵a=-1<0，
∴S_△ABP有最大值，当m=3时，S_△ABP最大值为6，此时P坐标为（3，(7)/(2)）．