如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，若△ABC的面积是16平方厘米，BP=5cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍，则AP=cm．

Question

如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，若△ABC的面积是16平方厘米，BP=5cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍，则AP=___cm．

Answer 1

延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△ABP和△EBP中，

∠ABP=∠EBP

BP=BP

∠APB=∠EPB

，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴S_△ABP=S_△EBP，AP=EP，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S_△APC=S_△PCE，
∵S_△ABP=3S_△APC，
∴S_△EBP=3S_△PCE，
∵S_△PBC=8cm²，
∴S_△EBP=6cm²，
∴S_△ABP=6cm²．
∵BP=5cm，
∴AP=(2×6)/(5)=(12)/(5)cm．
故答案为：(12)/(5)．