四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,又AD、BC的延长线相交于P.求证：三角形PMN的面积=四边形ABCD面积的1/4CD是大于AB的。

Question

四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,又AD、BC的延长线相交于P.求证：三角形PMN的面积=四边形ABCD面积的1/4
CD是大于AB的。

Answer 1

证明：将MN延长与BC 相交与Q点,过作A,D两点分别相对边做高H1,H2
三角形PMN面积=(1/2)(1/2)PQ*(H2-H1)
四边形ABCD面积=三角形PDC面积-三角形PAB面积
=(1/2)PC*H2-(1/2)PB*H1
=(1/2)[(PQ+CQ)*H2-(PQ-QB)*H1]
=(1/2)[PQ*(H2-H1)+CQ*H2+QB*H1]
=2*三角形PMN面积+(1/2)*(CQ*H2+QB*H1)
=2*三角形PMN面积+三角形DCQ面积+三角形ABQ面积-----(1)
我们对 三角形PMN面积进行变换
=(1/2)[(1/2)PQ*H2-(1/2)PQ*H1]=(1/2)[三角形PQD面积-三角形PQA面积]
= (1/2)三角形DAQ面积=(1/2)[四边形ABCD面积-三角形DCQ面积-三角形ABQ面积] ------(2)
将(1)(2)式中三角形DCQ和三角形ABQ面积用等量代换
得 三角形PMN的面积=四边形ABCD面积的1/4
没有数学符号表示,不知道能不能看得清楚.