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如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的
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如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,PQ两点同时运动,相遇时停止.在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR.设运动时间为t秒. (1)当t= 时,△PQR的边QR经过点B; (2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式; (3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值. ![]() |
▼优质解答
答案和解析
(1)1秒 (2) ![]() (3)t的值为(8﹣2 ![]() |
试题分析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,则有AB=AQ,由此列方程求出t的值; (2)在图形运动的过程中,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解; (3)由已知可得ABFE为正方形;其次通过旋转,由三角形全等证明MN=EM+BN;设EM=m,BN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3(m+n)﹣9=0,由此等式列方程求出时间t的值. 试题解析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形, ∴AB=AQ,即3=4﹣t, ∴t=1. 即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B. (2)①当0≤t≤1时,如答图1﹣1所示. ![]() 设PR交BC于点G, 过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3. S=S 矩形OABC ﹣S 梯形OPGC =8×3﹣ ![]() =﹣6t+ ![]() ②当1<t≤2时,如答图1﹣2所示. ![]() 设PR交BC于点G,RQ交BC、AB于点S、T. 过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3. QD=t,则AQ=AT=4﹣t, ∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1. S=S 矩形OABC ﹣S 梯形OPGC ﹣S △BST =8×3﹣ ![]() ![]() =﹣ ![]() ③当2<t≤4时,如答图1﹣3所示. ![]() 设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4﹣t. PQ=12﹣3t,∴PR=RQ= ![]() S=S △PQR ﹣S △AQT = ![]() ![]() = ![]() ![]() = ![]() 综上所述,S关于t的函数关系式为: ![]() (3)∵E(5,0),∴AE=AB=3, ∴四边形ABFE是正方形. 如答图2,将△AME绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM′,其中AE与AB重合. ∵∠MAN=45°,∴∠EAM+∠NAB=45°, ∴∠BAM′+∠NAB=45°, ∴∠MAN=∠M′AN. 连接MN.在△MAN与△M′AN中, ![]() ∴△MAN≌△M′AN(SAS). ∴MN=M′N=M′B+BN ∴MN=EM+BN. ![]() 设EM=m,BN=n,则FM=3﹣m,FN=3﹣n. 在Rt△FMN中,由勾股定理得:FM 2 +FN 2 =MN 2 ,即(3﹣m) 2 +(3﹣n) 2 =(m+n) 2 , 整理得:mn+3(m+n)﹣9=0. ① 延长MR交x轴于点S,则m=EM=RS= ![]() ![]() ∵QS= ![]() ![]() ∴n=BN=AS=QS﹣AQ= ![]() ![]() ∴m=3n, 代入①式,化简得:n 2 +4n﹣3=0, 解得n=﹣2+ ![]() ![]() ∴2﹣ ![]() ![]() 解得:t=8﹣2 ![]() ∴若∠MAN=45°,则t的值为(8﹣2 ![]() |
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