某市为了增强学生体质,全面实施“学生饮用奶”营养工程.某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用.浠马中学为了了解学生对不同
某市为了增强学生体质,全面实施“学生饮用奶”营养工程.某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用.浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好,对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(2014•海淀区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点,DF⊥AC于F.
(1)求证:DF为⊙O的切线;
(2)若cosC=,CF=9,求AE的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OD,AD,求出OD∥AC,推出OD⊥DF,根据切线的判定推出即可;
(2)求出CD、DF,推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形,推出OM=EN,EM=DF=12,求出OM,即可求出答案.
【解答】(1)连接OD,AD,
∵AB是⊙的直径,
∴∠ADB=90°,
又∵AB=AC,
∴BD=CD
又∵OB=OA,
∴OD∥AC
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF
又∵OD为⊙的半径,
∴DF为⊙O的切线.
(2)连接BE交OD于M,过O作ON⊥AE于N,
则AE=2NE,
∵cosC=,CF=9,
∴DC=15,
∴DF==12,
∵AB是直径,
∴∠AEB=∠CEB=90°,
∵DF⊥AC,OD⊥DF,
∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°,
∴四边形DMEF是矩形,
∴EM=DF=12,∠DME=90°,DM=EF,
即OD⊥BE,
同理四边形OMEN是矩形,
∴OM=EN,
∵OD为半径,
∴BE=2EM=24,
∵∠BEA=∠DFC=90°,∠C=∠C,
∴△CFD∽△CEB,
∴=
,
∴=
,
∴EF=9=DM,
设⊙O的半径为R,
则在Rt△EMO中,由勾股定理得:R2=122+(R﹣9)2,
解得:R=,
则EN=OM=﹣9=
=
,
∴AE=2EN=7.
【点评】本题考查了垂径定理,勾股定理,矩形的性质和判定,切线的判定,平行线的性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较典型,是一道比较好的题目.
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