一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．（1）若保持其缺口宽度不

Question

一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点 所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．
（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；
（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．

Answer 1

（1）6，（2） .

试题分析：（1）由题意得：保持其缺口宽度不变，需在A,B点处分别作抛物线的切线. 以抛物线顶点为原点，对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，则 ，从而边界曲线的方程为 ， ．因为抛物线在点 处的切线斜率 ，所以，切线方程为 ，与 轴的交点为 ．此时梯形的面积 平方分米，即为所求．（2）若保持其缺口深度不变，需使两腰分别为抛物线的切线. 设梯形腰所在直线与抛物线切于 时面积最小．此时，切线方程为 ，其与直线 相交于 ，与 轴相交于 ．此时，梯形的面积 ， ．故，当 时，面积有最小值为 ．
（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，则 ，
从而边界曲线的方程为 ， ．
因为抛物线在点 处的切线斜率 ，
所以，切线方程为 ，与 轴的交点为 ．
此时梯形的面积 平方分米，即为所求．
（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于 时面积最小．
此时，切线方程为 ，
其与直线 相交于 ，
与 轴相交于 ．
此时，梯形的面积 ， ．……11分
（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）
=0，得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
故，当 时，面积有最小值为

作业帮用户 2017-10-05 举报

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