17个科学家互相通信，在他们的通信中共讨论3个问题，而任意两个科学家之间仅讨论1个问题．证明：至少有3个科学家，他们彼此通信讨论的是同一个问题．

Question

17个科学家互相通信，在他们的通信中共讨论3个问题，而任意两个科学家之间仅讨论1个问题．证明：至少有3个科学家，他们彼此通信讨论的是同一个问题．

Answer 1

将17个科学家用17个点代表，两点之间连接的线段表示两个科学家之间讨论的问题．用三种颜色给这些线段染色，表示三个问题，于是问题就变成：给17个点之间的所有连接线段用三种颜色染色，必有同色三角形．从任意一点，不妨设从A向其他16点A₁，A₂，…A₁₆共可连成16条线段，用三种颜色染色，由抽屉原则可知，必有6条线段同色．设这6条线段为AA₁，AA₂，AA₆且同为红色．考虑A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆这六点之间的连线，若有一条为红色，（如A₁A₂为红色），则三角形AA₁A₂为红色的同色三角形．

若这六点之间的连线中，没有一条是红色的，则它们之间只能涂两种颜色．考虑从A₁引出的五条线段A₁A₂A₁A₃A₁A₄A₁A₅A₁A₆，由抽屉原理知，其中必有三条是同色的．不妨设这三条为A₁A₂A₁A₃A₁A₄，且同为蓝色．若三角形A₂A₃A₄的三边中有一条为蓝色的，则有一个蓝色的三角形存在；若三角形A₂A₃A₄三边都不是蓝色的，则它的三边是同为第三色的同色三角形．
所以，至少有3个科学家，他们彼此通信讨论的是同一个问题．