如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，（1）当AA1=3，AB=2，AD=2，求AC1的长；（2）当底面ABCD是菱形时，求证：CC1⊥BD．

Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
（1）当AA₁=3，AB=2，AD=2，求AC₁的长；
（2）当底面ABCD是菱形时，求证：CC₁⊥BD．

Answer 1

（1）如图所示．
∵|

AB

|＝|

AD

|＝2，|

AA1

|=3，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴

AB

•

AD

=|

AB

|•|

AD

|×cos60°=2×2×(1)/(2)=2，

AB

•

作业帮用户 2017-09-20 举报

问题解析

（1）利用空间向量的加法法则可得

AC1

=

AB

+

AD

+

AA1

，再利用数量积的性质可得

AC1

2=(

AB

+

AD

+

AA1

)2=

AB

2+

AD

2+

AA1

2+2

AB

•

AD

+2

AB

•

AA1

+2

AD

•

AA1

，再利用数量积的性质即可得出．
（2）连接AC、BD，相交于点O．利用菱形的性质可得AC⊥BD．OD=OB．再连接A₁B，A₁D，A₁O．利用已知可证明△A₁AB≌△A₁AD，得到A₁B=A₁D，利用等腰三角形的性质可得A₁O⊥BD．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．

名师点评

本题考点：

向量在几何中的应用；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题综合考查了空间向量的加法法则、数量积的性质、菱形的性质、三角形的全等判定与性质、等腰三角形的性质、线面垂直的判定与性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．

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