确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x2-8nx+10x-n2+35n-76=0的两根均为质数，并求出此两根．

Question

确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0的两根均为质数，并求出此两根．

Answer 1

设方程两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=4n-5，
∵4n-5是奇数，即x₁+x₂是奇数，
∴x₁与x₂必定一奇一偶，而x₁与x₂都是质数，
故必有一个为2，不妨设x₁=2，则2×2²-（8n-10）×2-（n²-35n+76）=0，
∴n=3或n=16，
当n=3时，原方程即2x²-14x+20=0，此时两根为x₁=2，x₂=5，
当n=16时，原方程即2x²-118x+228=0，此时两根为x₁=2，x₂=57（舍去）．
∴n=3．