设a,b,c为常数,证明方程4ax33bx22cx=abc在（0,1）内至少有一个正跟

Question

设a,b,c为常数,证明方程4ax3 3bx2 2cx=a b c在（0,1）内至少有一个正跟

Answer 1

令f(x)=ax⁴+bx³+cx²-(a+b+c)x
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导
f(0)=f(1)=0
由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(0,1),使得f'(ξ)＝0
f'(x)=4ax³++3bx²+2cx-(a+b+c)
所以,ξ是方程4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c的根
题设得证.