线性代数设A为正交矩阵,I+A可逆,证明：（1）（I-A）（I+A）^(-1)可交换（2）（I-A）（I+A）^(-1)为反对称矩阵

Question

线性代数
设A为正交矩阵,I+A可逆,证明：
（1）（I-A）（I+A）^(-1)可交换
（2）（I-A）（I+A）^(-1)为反对称矩阵

Answer 1

1．(I+A )(I-A) = I+A –A-A^ 2=(I-A)(I+A)
(I+A )(I-A) =(I-A)(I+A)
I+A可逆,对上式左乘右乘(I+A)^(-1)得
(I-A)(I+A)^(-1)= (I+A)^(-1)(I-A)
(I-A),(I+A)^(-1) 可交换
2．A为正交矩阵,A^T= A^(-1),故
((I-A)(I+A)^(-1)) ^T=((I+A)^(-1)) ^T(I-A))^T
=((I+A^T)^(-1)) (I-A^T)
=((I+A^(-1))^(-1)) (I-A^(-1))
=((A+I)^(-1))AA^(-1) (A-I)= -((A+I)^(-1))(I-A)
((I-A)(I+A)^(-1)) ^T= -((A+I)^(-1))(I-A)
故(I-A)(I+A)^(-1) 为反对称矩阵.