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设x,y,z均为正实数,且xyz=1,求证:1x3y+1y3z+1z3x≥xy+yz+zx.

题目详情
设x,y,z均为正实数,且xyz=1,求证:
1
x3y
+
1
y3z
+
1
z3x
≥xy+yz+zx.
▼优质解答
答案和解析
证明:∵x,y,z均为正实数,且xyz=1,
1
x3y
+
1
y3z
+
1
z3x
=
z
x2
+
x
y2
+
y
x2

∴由柯西不等式可得(
z
x2
+
x
y2
+
y
x2
)(xy+yz+zx)
≥(
xyz
x
+
xyz
y
+
xyz
x
2=(
xyz
x
+
xyz
y
+
xyz
z
2=(xy+yz+zx)2
1
x3y
+
1
y3z
+
1
z3x
≥xy+yz+zx.