不等式证明已知a,b,c∈R*,且ab+bc+ca=1,求1/a+1/b+1/c的最小值和abc(a+b+c)的最大值.

Question

不等式证明
已知a,b,c∈R*,且ab+bc+ca=1,求1/a+1/b+1/c的最小值和abc(a+b+c)的最大值.

Answer 1

1/a+1/b+1/c=(bc+ac+ab)/abc=1/abc
而1=ab+bc+ca≥3³√(abc)²,所以abc≤√3/9,所以1/a+1/b+1/c=1/abc≥3√3,当a=b=c=√3/3时取等号,故1/a+1/b+1/c的最小值为3√3
令ab=x,bc=y,ca=z,那么abc=√(xyz),a=√(xyz)/y,b=√(xyz)/z,c=√(xyz)/x
abc(a+b+c)=[√(xyz)](√(xyz)/y+√(xyz)/z+√(xyz)/x)=xyz(1/x+1/y+1/z)=xy+yz+zx
不妨设x≥y≥z,那么x²+y²+z²≥xy+yz+zx(排序不等式,顺序和不小于乱序和)
而x+y+z=1,1=(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx≥3(xy+yz+zx)
于是abc(a+b+c)=xy+yz+zx≤1/3,又a=b=c=√3/3时取等号,故abc(a+b+c)的最大值为1/3