设p是一个素数，p≡3（mod4），设x，y是整数，满足p|x2-xy+p+14y2．求证：存在整数u，v使得x2-xy+p+14y2＝p(u2−uv+p+14v2)．

Question

设p是一个素数，p≡3（mod 4），设x，y是整数，满足p|x²-xy+(p+1)/(4)y2．求证：存在整数u，v使得x²-xy+(p+1)/(4)y2＝p(u2−uv+(p+1)/(4)v2)．

Answer 1

证明：由已知p是一个素数，p≡3（mod 4），x，y是整数，满足p|x²-xy+(p+1)/(4)y2．
可知p|（2x-y）²+py²，p|（2x-y）²．
∴p|（2x-y）．设2x-y=pk，
则 x2−xy+(p+1)/(4)y2=(1)/(4)[py2+(2x−y)2]
=(1)/(4)[(2x−pk)2p+p2k2]=(p)/(4)[(2x−pk)2+pk2]
=(p)/(4)[(2x−pk+k−k)2+pk2]=(p)/(4)[(2u−v)2+pv2]，其中u＝x−(k(p−1))/(2)，v=k．
=(p)/(4)[4u2−4uv+(p+1)v2]=p(u2−uv+(p+1)/(4)v2)．
命题得证．