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如图,已知菱形ABCD外切于圆O,MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线.求证:AM•CN为定值.
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如图,已知菱形ABCD外切于圆O,MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线.求证:AM•CN为定值.
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▼优质解答
答案和解析
证明:连接OM、ON;如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAD=∠BCD,∠OAM=
∠BAD,∠NCO=
∠BCD,
∴∠OAM=∠NCO,
∴∠1+∠2=∠3+∠4①,
∵ O是菱形ABCD的内切圆,MN是 O的切线,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵∠1+∠3+∠MON=180°,∠5+∠6+∠MON=180°,
∴∠1+∠3=∠5+∠6,
∴∠1+∠3=∠2+∠4②,
①+②得:2∠1=2∠4,
∴∠1=∠4,
∴△AOM∽△CNO,
∴
=
,
∴AM•CN=AO•CO=AO2为定值.
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∴∠BAD=∠BCD,∠OAM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠OAM=∠NCO,
∴∠1+∠2=∠3+∠4①,
∵ O是菱形ABCD的内切圆,MN是 O的切线,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵∠1+∠3+∠MON=180°,∠5+∠6+∠MON=180°,
∴∠1+∠3=∠5+∠6,
∴∠1+∠3=∠2+∠4②,
①+②得:2∠1=2∠4,
∴∠1=∠4,
∴△AOM∽△CNO,
∴
AM |
CO |
AO |
CN |
∴AM•CN=AO•CO=AO2为定值.
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