如图，已知菱形ABCD外切于圆O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线．求证：AM•CN为定值．

Question

如图，已知菱形ABCD外切于圆O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线．求证：AM•CN为定值．

Answer 1

证明：连接OM、ON；如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，∠OAM=(1)/(2)∠BAD，∠NCO=(1)/(2)∠BCD，
∴∠OAM=∠NCO，
∴∠1+∠2=∠3+∠4①，
∵ O是菱形ABCD的内切圆，MN是 O的切线，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵∠1+∠3+∠MON=180°，∠5+∠6+∠MON=180°，
∴∠1+∠3=∠5+∠6，
∴∠1+∠3=∠2+∠4②，
①+②得：2∠1=2∠4，
∴∠1=∠4，
∴△AOM∽△CNO，
∴(AM)/(CO)=(AO)/(CN)，
∴AM•CN=AO•CO=AO²为定值．