两个半径都是1的球O1和球O2相切，且均与直二面角α-l-β的两个半平面都相切，另有一个半径为γ（γ<1）的小球O与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球O1和球O2都外切，则γ的值为．

Question

两个半径都是1的球O₁和球O₂相切，且均与直二面角α-l-β的两个半平面都相切，另有一个半径为γ（γ<1）的小球O与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球O₁和球O₂都外切，则γ的值为___．

Answer 1

如图为两个单位立方体构成，图中的左侧面和底面构成题目中的直二面角，

O₁、O₂为单位球的球心，小球O在MN上．
设OH=r，则有：OO₁=OO₂=r+1，才能满足外切条件．
如图，为M为原点建立空间坐标系，各点坐标为：
O （r，0，r），O₂（1，1，1）
∴OO₂²=（1+r）²，（1-r）²+1+（1-r）²=（1+r）²，
解得：r=3±√(7)，
其中r=3-√(7)为符合题意的解．
∴r=3-√(7)．
故答案为：3-√(7)．