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如图,E为正方形ABCD中CD边上一点,∠DAE=30°,P为AE的中点,过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N.若MN=AE,则∠AMN等于.
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如图,E为正方形ABCD中CD边上一点,∠DAE=30°,P为AE的中点,过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N.若MN=AE,则∠AMN等于___.
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▼优质解答
答案和解析
分为两种情况:①如图1,
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过N作NF⊥AD于F,
则∠NFA=∠MFN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠B=∠D=90°,
∴四边形AFNB是矩形,
∴NF=AB=AD,
∵∠NFM=∠D=90°,
在Rt△MFN和Rt△EDA中
∴Rt△MFN≌Rt△EDA(HL),
∴∠AMN=∠AED,
∵∠DAE=30°,∠D=90°,
∴∠AMN=∠AED=180°-30°-90°=60°;
②如图2,
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同法可求Rt△MFN≌Rt△EDA,
所以∠FMN=∠AED=60°,
所以∠AMN=180°-60°=120°.
故答案为:60°或120°
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过N作NF⊥AD于F,
则∠NFA=∠MFN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠B=∠D=90°,
∴四边形AFNB是矩形,
∴NF=AB=AD,
∵∠NFM=∠D=90°,
在Rt△MFN和Rt△EDA中
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∴Rt△MFN≌Rt△EDA(HL),
∴∠AMN=∠AED,
∵∠DAE=30°,∠D=90°,
∴∠AMN=∠AED=180°-30°-90°=60°;
②如图2,
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同法可求Rt△MFN≌Rt△EDA,
所以∠FMN=∠AED=60°,
所以∠AMN=180°-60°=120°.
故答案为:60°或120°
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