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(2011•从化市一模)如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=22,D为斜边BC上的一点(D与B、C均不重合),连接AD,把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE,连接DE,设BD=x.(1)求证∠DCE=90°;(2)
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(2011•从化市一模)如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=2
,D为斜边BC上的一点(D与B、C均不重合),连接AD,把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE,连接DE,设BD=x.
(1)求证∠DCE=90°;
(2)当△DCE的面积为1.5时,求x的值;
(3)试问:△DCE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值,并指出此时x的取值;若不存在,请说明理由.
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(1)求证∠DCE=90°;
(2)当△DCE的面积为1.5时,求x的值;
(3)试问:△DCE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值,并指出此时x的取值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE,
∴△ACE≌△ABD,
∴∠ABD=∠ACE,(2分)
又∵△ABC是等腰直角三角形,且BC为斜边,
∴∠ABD+∠ACD=90°,(3分)
∴∠ACE+∠ACD=90°,
即:∠DCE=90°;(5分)
(2)∵AC=AB=2
,
∴BC2=AC2+AB2=(2
)2+(2
)2=16,
∴BC=4.(6分)
∵△ACE≌△ABD,∠DCE=90°,
∴CE=BD=x,而BC=4,
∴DC=4-x,
∴Rt△DCE的面积为:
DC•CE=
(4-x)x.
∴
(4-x)x=1.5,(8分)
即x2-4x+3=0.
解得x=1或x=3.(10分)
(3)△DCE存在最大值.(11分)
理由如下:设△DCE的面积为y,于是得y与x的函数关系式为:
y=
(4-x)x(0<x<4),(12分)
=-
(x-2)2+2,
∵a=-
<0,
∴当x=2时,函数y有最大值2.(13分)
又∵x满足关系式0<x<4,
故当x=2时,△DCE的最大面积为2.(14分)
∴△ACE≌△ABD,
∴∠ABD=∠ACE,(2分)
又∵△ABC是等腰直角三角形,且BC为斜边,
∴∠ABD+∠ACD=90°,(3分)
∴∠ACE+∠ACD=90°,
即:∠DCE=90°;(5分)
(2)∵AC=AB=2
2 |
∴BC2=AC2+AB2=(2
2 |
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∴BC=4.(6分)
∵△ACE≌△ABD,∠DCE=90°,
∴CE=BD=x,而BC=4,
∴DC=4-x,
∴Rt△DCE的面积为:
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
即x2-4x+3=0.
解得x=1或x=3.(10分)
(3)△DCE存在最大值.(11分)
理由如下:设△DCE的面积为y,于是得y与x的函数关系式为:
y=
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=-
1 |
2 |
∵a=-
1 |
2 |
∴当x=2时,函数y有最大值2.(13分)
又∵x满足关系式0<x<4,
故当x=2时,△DCE的最大面积为2.(14分)
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