设F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点A在抛物线上，O为坐标原点，若∠OFA=120°，且FO•FA=-8，则抛物线的焦点到准线的距离等于．

Question

设F为抛物线y ² =2px（p＞0）的焦点，点A在抛物线上，O为坐标原点，若∠OFA=120°，且

FO

•

FA

=-8 ，则抛物线的焦点到准线的距离等于______．

Answer 1

由y ² =2px知焦点坐标为F（ (p)/(2) ，0）．
|

FO

|=(p)/(2) ，
∵

FO

•

FA

=-8 ，
∴ |

FO

|•|

FA

|cos∠OFA=-8 ，
即 (p)/(2) •|

FA

|(-(1)/(2) )=-8 ，
∴ |

FA

|=(32)/(p) ①
又∠BFA=∠OFA-90°=30°，
过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B．如图，
A点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|= p+(32)/(p) ×(1)/(2) ，
根据抛物线的定义得：
d= |

FA

|=p +(32)/(p) ×(1)/(2) ②
由①②解得p=4，
则抛物线的焦点到准线的距离等于4
故答案为 4．