已知双曲线的一条渐近线为x+3y=0，且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

Question

已知双曲线的一条渐近线为 x+

3

y=0 ，且与椭圆x ² +4y ² =64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

Answer 1

椭圆方程为 (x2)/(64) +(y2)/(16) =1 ，可知椭圆的焦距为 8

3

①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为 (x2)/(a2) -(y2)/(b2) =1 （a＞0，b＞0）
∴

a 2 + b 2 =48

(b)/(a) =(3)/(3)

解得

a 2 =36

b 2 =12

∴双曲线的标准方程为 (x2)/(36) -(y2)/(12) =1 （6分）
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为 (y2)/(a2) -(x2)/(b2) =1 （a＞0，b＞0）
∴

a 2 + b 2 =48

(a)/(b) =(3)/(3)

解得

a 2 =12

b 2 =36

∴双曲线的标准方程为 (y2)/(12) -(x2)/(36) =1
由①②可知，双曲线的标准方程为 (x2)/(36) -(y2)/(12) =1 或 (y2)/(12) -(x2)/(36) =1 （12分）