三角函数题关于X的方程sin(2x)sin(4x)-sin(x)sin(3x)=a,在X属于[0,派）时有唯一解,求a的值.

Question

三角函数题
关于X的方程sin(2x)sin(4x)-sin(x)sin(3x)=a,在X属于[0,派）时有唯一解,求a的值.

Answer 1

sin(2x)sin(4x)-sin(x)sin(3x)=[cos2x-cos6x]/2-[cos2x-cos4x]/2
所以2a=cos4x-cos6x=2sinxsin5x
所以a=sinxsin5x=costcos5t,其中t=x-π/2∈[-π/2,π/2)
当t=-π/2时,a=0,但t=-π/10时a也=0,所以只需考虑t∈(-π/2,π/2)
这时costcos5t是偶函数,对于任意t∈(0,π/2),使得a=costcos5t,有-t使得a=cos-tcos5(-t)
所以只有t=0,此时a=1
下面证明a=1时,t有唯一解
对于任意t∈（-π/2,0）∪(0,π/2),有cost＜1,cos5t≤1,所以costcos5t