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(2013•溧水县一模)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点P在对角线BD上运动(B、D两点除外),线段PA绕点P顺时针旋转m°(0<m<180),得线段PQ.(1)若点Q与点D重合,请在图中用尺
题目详情
(2013•溧水县一模)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点P在对角线BD上运动(B、D两点除外),线段PA绕点P顺时针旋转m°(0<m<180),得线段PQ.
(1)若点Q与点D重合,请在图中用尺规作出点P所处的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若点Q落在边CD上,且∠ADB=n°.
①探究m与n之间的数量关系;
②若点P在线段OB上运动,PQ=QD,求n的取值范围.(在备用图中探究)
(1)若点Q与点D重合,请在图中用尺规作出点P所处的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若点Q落在边CD上,且∠ADB=n°.
①探究m与n之间的数量关系;
②若点P在线段OB上运动,PQ=QD,求n的取值范围.(在备用图中探究)
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1所示:作AD的垂直平分线,交BC于点P.
(2)①如图2,连接PC.
由PC=PQ,得∠3=∠4.
由菱形ABCD,得∠3=∠PAD.
所以得∠4=∠PAD,
而∠4+∠PQD=180°.
所以∠PAD+∠PQD=180°.
所以m+2n=180.
②解法一:∵PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°.
而点P在线段BO上运动,
∴∠BCD>∠3>∠ACD,
∴180-2n>2n>90-n,
∴30<n<45.
解法二:由PQ=QD,可得∠QPD=∠1,
又∵∠1=∠2,
∴∠QPD=∠2,
∵点P在线段OB上运动,
∴∠ABC<∠APQ且∠APQ<90°+∠2(或∠ABC<∠APQ<90°+∠2)
即(2n≤180-2n<90+n)
∴30<n<45.
(2)①如图2,连接PC.
由PC=PQ,得∠3=∠4.
由菱形ABCD,得∠3=∠PAD.
所以得∠4=∠PAD,
而∠4+∠PQD=180°.
所以∠PAD+∠PQD=180°.
所以m+2n=180.
②解法一:∵PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°.
而点P在线段BO上运动,
∴∠BCD>∠3>∠ACD,
∴180-2n>2n>90-n,
∴30<n<45.
解法二:由PQ=QD,可得∠QPD=∠1,
又∵∠1=∠2,
∴∠QPD=∠2,
∵点P在线段OB上运动,
∴∠ABC<∠APQ且∠APQ<90°+∠2(或∠ABC<∠APQ<90°+∠2)
即(2n≤180-2n<90+n)
∴30<n<45.
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