双曲线与圆x^2+y^2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线渐近线平行,求此双曲线标准方程

Question

双曲线与圆x^2+y^2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线渐近线平行,求此双曲线标准方程

Answer 1

圆x^2+y^2=10过点P(3,-1)的切线为：
3x-y=10,即：y=3x-10
切线与双曲线渐近线平行,即双曲线的渐近线斜率为3,
如果双曲线是在横轴,设双曲线标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
b/a=3,即：b=3a
P点代入得：9/a^2-1/b^2=1
联立得：a^2=80/9,b^2=80
则双曲线方程为：9x^2/80-y^2/80=1
如果双曲线是在竖轴,设双曲线方程为y^2/a^2-x^2/b^2=1
a/b=3,即：a=3b
P点代入得：1/a^2-9/b^2=1
联立无解.
所以所求双曲线标准方程为：x^2/(80/9)-y^2/80=1