如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABE和△ACD都是等边三角形，BF=FE，DF与AC相交于点M，求证：AM=MC．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABE和△ACD都是等边三角形，BF=FE，DF与AC相交于点M，求证：AM=MC．

Answer 1

证明：如图，连AF，FC，
∵△ABE是等边三角形，BF=EF，
∴AF是∠BAE的平分线，
∴∠BAF=∠BAE=(1)/(2)×60°=30°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAF=∠BAC=30°，
在△ABF和△ABC中，

∠BAF＝∠BAC

∠AFB＝∠ACB＝90°

AB＝AB

，
∴△ABF≌△ABC（AAS），
∴AF=AC，
∵∠FAC=∠BAF+∠BAC=30°+30°=60°，
∴△AFC是等边三角形，
又∵△ACD是等边三角形，
∴AF=FC=CD=AD=AC，
∴四边形AFCD是菱形，
∴AM=MC．