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如果a和b是方程x^4+x^3=1的两个相异的根,试证明:ab为方程x^6+x^4+x^3-x^2-1=0的根.
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如果a和b是方程x^4+x^3=1的两个相异的根,试证明:ab为方程x^6+x^4+x^3-x^2
-1=0的根.
-1=0的根.
▼优质解答
答案和解析
设a,b,c,d为方程x^4+x^3-1=0的根,则由韦达定理得
a+b+c+d=-1-----------------①
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0--------②
bcd+acd+abd+abc=0----------③
abcd=-1--------------------④
设p=a+b,q=ab,r=c+d,s=cd,则由关系式①~④变形为
p+r=-1
pr+q+s=0
qr+ps=0
qs=-1
消去p,r和s,得q^6+q^4+q^3-q^2-1=0的根.
这只是思路···
过程主要是降幂··
a+b+c+d=-1-----------------①
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0--------②
bcd+acd+abd+abc=0----------③
abcd=-1--------------------④
设p=a+b,q=ab,r=c+d,s=cd,则由关系式①~④变形为
p+r=-1
pr+q+s=0
qr+ps=0
qs=-1
消去p,r和s,得q^6+q^4+q^3-q^2-1=0的根.
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