如果a和b是方程x^4+x^3=1的两个相异的根,试证明：ab为方程x^6+x^4+x^3-x^2-1=0的根.

Question

如果a和b是方程x^4+x^3=1的两个相异的根,试证明：ab为方程x^6+x^4+x^3-x^2
-1=0的根.

Answer 1

设a,b,c,d为方程x^4+x^3-1=0的根,则由韦达定理得
a+b+c+d=-1-----------------①
ab+ac+ad+bc+bd+cd=0--------②
bcd+acd+abd+abc=0----------③
abcd=-1--------------------④
设p＝a＋b,q＝ab,r＝c＋d,s＝cd,则由关系式①～④变形为
p+r=-1
pr+q+s=0
qr+ps=0
qs=-1
消去p,r和s,得q^6+q^4+q^3-q^2-1=0的根.
这只是思路···
过程主要是降幂··