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图中坐标原点O(0,0)处有一带电粒子源,向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子,粒子的速率都是v,质量均为m,电荷量均为q.有人设计了一方向垂直于Oxy平面,磁感应
题目详情
图中坐标原点O(0,0)处有一带电粒子源,向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子,粒子的速率都是v,质量均为m,电荷量均为q.有人设计了一方向垂直于Oxy平面,磁感应强度的大小为B的均匀磁场区域,使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时,均能沿x轴正方向运动.试求出此边界线的方程,并画出此边界线的示意图.
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▼优质解答
答案和解析
设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里,且无边界,考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子,在磁场的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,圆轨道经过坐标原点O,且与速度方向相切,若圆轨道的为R,则有
qvB=m
得 R=
圆轨道的圆心O′在过坐标原点O与速度方向垂直的连线上,至原点的距离为R,如图1所示,通过圆心O′,作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点,粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向,故P点就在磁场区域的边界上.对于不同入射方向的粒子,对应的P点的位置不同,所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线,P点的坐标为
x=-Rsinθ
y=-R+Rcosθ
这就是磁场区域边界的参数方程,消去参数θ,得
x2+(y+R)2=R2;
将R=
代入上式得:x2+(y+
)2=
这是半径为R圆心O″的坐标为(0,-R)的圆,作为该题要求的磁场区域的边界线,应是如图2所示的半个圆周,故磁场区域的边界线的方程为:
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x2+(y+
)2=
,x≤0,y≤0
若磁场方向垂直于xy平面向外,则磁场的边界线为如图3的半圆,磁场区域的边界线的方程为
x2+(y-R)2=R2,x≥0,y≥0
即x2+(y-
)2=
,x≥0,y≥0.
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答:若磁场方向垂直于xy平面向里,磁场的边界线为如图2的半圆,磁场区域的边界线的方程为 x2+(y+
)2=
,x≤0,y≤0.
若磁场方向垂直于xy平面向外,磁场的边界线为如图3的半圆,磁场区域的边界线的方程为 x2+(y-
)2=
,x≥0,y≥0.
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qvB=m
v2 |
R |
得 R=
mv |
qB |
圆轨道的圆心O′在过坐标原点O与速度方向垂直的连线上,至原点的距离为R,如图1所示,通过圆心O′,作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点,粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向,故P点就在磁场区域的边界上.对于不同入射方向的粒子,对应的P点的位置不同,所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线,P点的坐标为
x=-Rsinθ
y=-R+Rcosθ
这就是磁场区域边界的参数方程,消去参数θ,得
x2+(y+R)2=R2;
将R=
mv |
qB |
mv |
qB |
m2v2 |
q2B2 |
这是半径为R圆心O″的坐标为(0,-R)的圆,作为该题要求的磁场区域的边界线,应是如图2所示的半个圆周,故磁场区域的边界线的方程为:
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x2+(y+
mv |
qB |
m2v2 |
q2B2 |
若磁场方向垂直于xy平面向外,则磁场的边界线为如图3的半圆,磁场区域的边界线的方程为
x2+(y-R)2=R2,x≥0,y≥0
即x2+(y-
mv |
qB |
m2v2 |
q2B2 |
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答:若磁场方向垂直于xy平面向里,磁场的边界线为如图2的半圆,磁场区域的边界线的方程为 x2+(y+
mv |
qB |
m2v2 |
q2B2 |
若磁场方向垂直于xy平面向外,磁场的边界线为如图3的半圆,磁场区域的边界线的方程为 x2+(y-
mv |
qB |
m2v2 |
q2B2 |
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