（2009•汕头二模）已知函数f（x）=ex+4x-3．（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的零点，并用二分法求函数f（x）零点的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，e≈1.6，e0.25≈1.

Question

（2009•汕头二模）已知函数f（x）=e^x+4x-3．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的零点，并用二分法求函数f（x）零点的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，√(e)≈1.6，e^0.25≈1.3，e^0.375≈1.45）；
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=e^x+4x-3，得f′（x）=e^x+4＞0，
f（x）在[0，1]上单调递增，
∵f（0）=-2，f（1）=e+1＞0，f（0）•f（1）＜00，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一零点，
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下

由上表可知区间[0.25，0.5]的长度为0.25，所以该区间的中点x₂=0.375，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值．
∴函数f（x）零点的近似值x≈0.375
（Ⅱ）当x≥1时，由f（x）≥ax，即a≤(ex+4x−3)/(x)，
令g(x)＝(ex+4x−3)/(x)则g′(x)＝(ex(x−1)+3)/(x2)
∵x≥1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=e+1，
∴a的取值范围是a≤e+1．