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(2014•惠州模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=12CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2.
题目详情
(2014•惠州模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=
CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2.
(1)求证:AM∥平面BEC;
(2)求证:BC⊥平面BDE;
(3)求点D到平面BEC的距离.
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(1)求证:AM∥平面BEC;
(2)求证:BC⊥平面BDE;
(3)求点D到平面BEC的距离.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:取EC中点N,连接MN,BN.
在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,
所以MN∥CD,且MN=
CD.
由已知AB∥CD,AB=
CD,
所以MN∥AB,且MN=AB.(3分)
所以四边形ABNM为平行四边形.
所以BN∥AM.(4分)
又因为BN⊂平面BEC,且AM⊄平面BEC,
所以AM∥平面BEC.(5分)
(2)在正方形ADEF中,ED⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC.(7分)
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=
.
在△BCD中,BD=BC=
,CD=2,
所以BD2+BC2=CD2.
所以BC⊥BD.(8分)
所以BC⊥平面BDE.(10分)
(3)由(2)知,BC⊥平面BDE
又因为BC⊂平面BCE,所以平面BDE⊥平面BEC.(11分)
过点D作EB的垂线交EB于点G,则DG⊥平面BEC
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度(12分)
在直角三角形BDE中,
S△BDE=
BD•DE=
BE•DG
所以DG=
=
=
所以点D到平面BEC的距离等于
(1)证明:取EC中点N,连接MN,BN.
在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,
所以MN∥CD,且MN=
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由已知AB∥CD,AB=
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所以MN∥AB,且MN=AB.(3分)
所以四边形ABNM为平行四边形.
所以BN∥AM.(4分)
又因为BN⊂平面BEC,且AM⊄平面BEC,
所以AM∥平面BEC.(5分)
(2)在正方形ADEF中,ED⊥AD.
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC.(7分)
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=
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在△BCD中,BD=BC=
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所以BD2+BC2=CD2.
所以BC⊥BD.(8分)
所以BC⊥平面BDE.(10分)
(3)由(2)知,BC⊥平面BDE
又因为BC⊂平面BCE,所以平面BDE⊥平面BEC.(11分)
过点D作EB的垂线交EB于点G,则DG⊥平面BEC
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度(12分)
在直角三角形BDE中,
S△BDE=
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所以DG=
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所以点D到平面BEC的距离等于
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