（2014•佛山二模）已知等比数列{an}满足a1a2=2a3，且a1，a2+2，a3成等差数列．数列{bn}满足b1log2a1+b2log2a2+…+bnlog2an=n(n+1)2（n∈N*）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式．（2）求证：n2(n+2)＜nk＝1（1-bkb

Question

（2014•佛山二模）已知等比数列{a_n}满足a₁a₂=2a₃，且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．数列{b_n}满足b₁log₂a₁+b₂log₂a₂+…+b_nlog₂a_n=(n(n+1))/(2)（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）求证：(n)/(2(n+2))＜

n

k＝1

（1-(bk)/(bk+1)）(1)/(√(bk+1))＜(5)/(6)（n∈N^*）．

Answer 1

（1）∵等比数列{a_n}满足a₁a₂=2a₃，且a₁，a₂+2，a₃成等差数列，
∴

a12q＝2a1q2

2(a1q+2)＝a1+a1q2

，
解得

a1＝4

q＝2

，∴

a

n

＝2n+1．
∵b₁log₂a₁+b₂log₂a₂+…+b_nlog₂a_n=(n(n+1))/(2)，
∴2b₁+3b₂+…+（n+1）b_n=(n(n+1))/(2)，n=1时，2b₁=1，b1＝(1)/(2)，
当n≥2时，2b₁+3b₂+…+（n+1）b_n=(n(n+1))/(2)，
2b₁+3b₂+…+nb_n-1=((n−1)n)/(2)，
两式相减，得（n+1）b_n=(n(n+1))/(2)−(n(n−1))/(2)＝n，
∴bn＝(n)/(n+1)．n=1时也成立，
∴bn＝

作业帮用户 2017-09-29 举报

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