（2011•肇庆一模）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…，构成的数列为{bn}，b1=a1=1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bnbnSn−S2

Question

（2011•肇庆一模）将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足(2bn)/(bnSn−S2n)＝1(n≥2)．
（1）求证数列{(1)/(Sn)}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81＝−(4)/(91)时，公比q的值．

Answer 1

（1）由已知，当n≥2时，(2bn)/(bnSn−S2n)＝1，又b_n=S_n-S_n-1，（1分）
所以(2(Sn−Sn−1))/((Sn−Sn−1)Sn−S2n)＝1．（2分）
即(2(Sn−Sn−1))/(−Sn−1Sn)＝1，所以(1)/(Sn)−(1)/(Sn−1)＝(1)/(2)，（4分）
又S₁=b₁=a₁=1，所以数列{(1)/(Sn)}是首项为1，公差为(1)/(2)的等差数列．（5分）
所以(1)/(Sn)＝(1)/(S1)+(1)/(2)(n−1)＝(n+1)/(2)，即Sn＝(2)/(n+1)．（7分）
所以，当n≥2时，bn＝Sn−Sn−1＝(2)/(n+1)−(2)/(n−1+1)＝−(2)/(n(n+1))，（9分）
因此bn＝

作业帮用户 2017-10-15 举报

问题解析

（1）由(2bn)/(bnSn−S2n)＝1，知(2(Sn−Sn−1))/(−Sn−1Sn)＝1，所以(1)/(Sn)−(1)/(Sn−1)＝(1)/(2)，由此能够推导出数列{b_n}的通项公式．
（2）因为1+2+3+…+12＝(12×13)/(2)＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列，由此能求出当a81＝−(4)/(91)时，公比q的值．

名师点评

本题考点：

数列递推式．

考点点评：

本题考查数列的性质和应用，解题时要灵活运用数列通项公式的求解方法，合理地利用递推公式，仔细审题，认真解答．

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