（2012•怀化二模）已知函数ϕ（x）=ax，a为常数，且a＞0（1）若f（x）=ln（x-1）+ϕ（x），且a=6，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|ln（x-1）|+ϕ（x），且对任意x1，x2∈（1，3]，x1≠x2，

Question

（2012•怀化二模）已知函数ϕ（x）=(a)/(x)，a为常数，且a＞0
（1）若f（x）=ln（x-1）+ϕ（x），且a=6，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|ln（x-1）|+ϕ（x），且对任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有(g(x2)−g(x1))/(x2−x1)＜0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′(x)＝(1)/(x−1)−(a)/(x2)，
∵a=6，∴f′(x)＝(1)/(x−1)−(6)/(x2)
令f′（x）＞0，可得(1)/(x−1)−(6)/(x2)＞0，∴x＜3−√(3)或x＞3+√(3)
令f′（x）＜0，可得(1)/(x−1)−(6)/(x2)＜0，∴3−√(3)＜x＜3+√(3)
所以f（x）的单调增区间为(1，3−√(3)]和[3+√(3)，+∞)，减区间为[3−

作业帮用户 2017-10-13 举报

问题解析

（1）确定f（x）的定义域为（1，+∞），求出导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调增区间，从而可得函数单调减区间；
（2）根据对任意x₁，x₂∈（1，3]，x₁≠x₂，都有(g(x2)−g(x1))/(x2−x1)＜0，可得g（x）在（1，3]是减函数，再分x∈（1，2]，x∈[2，3]，分类讨论，同时利用分离参数法，即可确定a的取值范围．

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，构建函数，利用导数求解．

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