（2013•宜昌模拟）已知直线y=ax+c与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，b≠0）分别相交于A（0，C），B（1-b，m）两点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于C，D两点，顶点为P．（1）求a的值．（2）如果CD=2，当-1≤x≤1

Question

（2013•宜昌模拟）已知直线y=ax+c与抛物线y=ax²+bx+c（a≠0，b≠0）分别相交于A（0，C），B（1-b，m）两点，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于C，D两点，顶点为P．
（1）求a的值．
（2）如果CD=2，当-1≤x≤1时，抛物线y=ax²+bx+c的最大值与最小值的差为4，求点的B坐标．

Answer 1

（1）把B（1-b，m）分别代入y=ax+c和y=ax²+bx+c得m=a（1-b）+c，m=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴a（1-b）+c=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴（1-b）•b•（a-1）=0，
∵b≠0，1-b≠0，
∴a=1；

（2）设C点坐标为（x₁，0），D点坐标为（x₂，0），
∵CD=|x₁-x₂|=√((x1+x2)2−4x1x2)=√((−(b)/(a))2−4•(c)/(a))=(√(b2−4ac))/(|a|)，
∴√(b2−4c)=2，即b²-4c=4，
∴抛物线的顶点的纵坐标为(4ac−b2)/(4a)=-1，
∴抛物线的解析式为y=（x+(b)/(2)）²-1，对称轴为直线x=-(b)/(2)，
x=1时，y=1+b+c；x=-1时，y=1-b+c，
当对称轴在直线x=1的右侧，即-(b)/(2)＞1，解得b＜-2，
1-b+c-（1+b+c）=4，解得b=-2（舍去）；
当对称轴在直线x=1的左侧（或与x=1重合），y轴的右侧，即0＜-(b)/(2)≤1，解得-2≤b＜0，
1-b+c-（-1）=4，c=2+b，
把c=2+b代入b²-4c=4得b²-4b-12=0，解得b₁=6（舍去），b₂=-2；
把b=-2代入c=2+b得c=0，
∴m=a（1-b）+c=1-（-2）+0=3，
∴B点坐标为（3，3）；
当对称轴在直线x=-1的左侧，即-(b)/(2)＜-1，解得b＞2，
1+b+c-（1-b+c）=4，解得b=2（舍去）；
当对称轴在直线x=-1的右侧（或与x=-1重合），y轴的左侧，即-1≤-

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