己知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG（1）求证：∠AFD+∠CBG=180°；（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB

Question

己知：如图1．正方形ABCD，过点A作∠EAF=90°，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG
（1）求证：∠AFD+∠CBG=180°；
（2）如图2，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，求证：GH=GB；
（3）如图3，连接HF，若CH=3AH，AD=2√(10)，求线段HF的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠AEF=90°，
∴∠EAB=∠DAF，
∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠AFD=∠E，
∵AG=GE，
∴GB=GE=GA，
∴∠E=∠GBE=∠AFD，
∵∠GBE+∠GBC=180°，
∴∠AFD+∠GBC=180°．

（2）证明：如图2中，连接BD交AC于O，连接OG、BH、取BH的中点K，连接GK、OK．

∵∠BGH=∠BOH=90°，BK=KH，
∴GK=KH=OK=KB，
∴O、H、G、B四点共圆，
∵AG=GE，AO=OC．
∴OG∥CE，
∴∠GOB=∠OBC=45°，
∴∠GOH=∠GBH=45°，∵∠BGH=90°，
∴∠GBH=∠GHB=45°，
∴GH=GB．

（3） 如图3中，如图3中，设OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．

∵OG∥EC，
AB⊥CE，
∴OG⊥AB，
易证∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，
∴tan∠EAB=tan∠HBO=(HO)/(OB)，
∵CH=3AH，OA=OC=OB，
∴tan∠EAB=tan∠HBO=(HO)/(OB)=(1)/(2)，
∵AB=AD=2√(10)，
∴BE=DF=√(10)，
在Rt△HMF中，易证FM=(√(10))/(2)，HM=(3)/(2)√(10)，
∴HF=√(HM2+FM2)=5．