（2012•绵阳）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（）A．1：2B．1：2C．3：2D．1：3

Question

（2012•绵阳）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（　　）

A．1：√(2)
B．1：2
C．√(3)：2
D．1：√(3)

Answer 1

如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵

BP＝BP′

∠ABP＝∠CBP′

AB＝BC

，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=√(2)PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=3x，
根据勾股定理，PP′=√(AP2−P′A2)=√((3x)2−x2)=2√(2)x，
∴PP′=√(2)PB=2√(2)x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故选：B．