（2012•绵阳三模）已知向量m=（sinx，-1），n=（cosx，3）．（Ⅰ）当m∥n时，求sinx+cosx3sinx−2cosx的值；（Ⅱ）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，3c=2asin（A+B），函数f（x）=（m

Question

（2012•绵阳三模）已知向量

m

=（sinx，-1），

n

=（cosx，3）．
（Ⅰ）当

m

∥

n

时，求(sinx+cosx)/(3sinx−2cosx)的值；
（Ⅱ）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，√(3)c=2asin（A+B），函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

，求f（B+(π)/(8)）的取值范围．

Answer 1

（I）由

m

∥

n

，可得3sinx=-cosx，于是tanx=-(1)/(3)．
∴(sinx+cosx)/(3sinx−2cosx)=(tanx+1)/(3tanx−2)=(−(1)/(3)+1)/(3(−(1)/(3))−2)=-(2)/(9)．   
（II）∵在△ABC中，A+B=π-C，于是sin（A+B）=sinC，
由 √(3)c=2asin（A+B）利用正弦定理得：√(3)sinC=2sinAsinC，
∴sinA=(√(3))/(2)，可解得 A=(π)/(3)． …（6分）
又△ABC为锐角三角形，于是 (π)/(6)＜B＜(π)/(2)，
∵函数f（x）=（

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问题解析

（I）由

m

∥

n

，可得tanx=-(1)/(3)，再由(sinx+cosx)/(3sinx−2cosx)=(tanx+1)/(3tanx−2)，运算求得结果．
（II）在△ABC中，由 √(3)c=2asin（A+B）利用正弦定理求得sinA=(√(3))/(2)，可解得 A=(π)/(3)．由△ABC为锐角三角形，得(π)/(6)＜B＜(π)/(2)，利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）=(√(2))/(2) sin（2x-(π)/(4)）-(3)/(2)．由此可得f（B+(π)/(8)）=(√(2))/(2)sin2B-(3)/(2)，再根据B的范围求出sin2B的范围，即可求得f（B+(π)/(8)）的取值范围．

名师点评

本题考点：

三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题．

考点点评：

本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．

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