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(2013年四川南充8分)如图,二次函数y=x2+bx-3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b2-5b-1).(1)求这条抛物线的解析式;(2)⊙M过A
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(2013年四川南充8分)如图,二次函数y=x 2 +bx-3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b 2 -5b-1). (1)求这条抛物线的解析式; (2)⊙M过A、B、C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标; (3)连接AM、DM,将∠AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F,若△DMF为等腰三角形,求点E的坐标. |
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答案和解析
(1)把点(b-2,2b 2 -5b-1)代入y=x 2 +bx-3b+3,得 2b 2 -5b-1=(b-2) 2 +b(b-2)-3b+3, 解得b=2。 ∴抛物线的解析式为y=x 2 +2x-3。 (2)由x 2 +2x-3=0,得x=-3或x=1。∴A(-3,0)、B(1,0)。 由x=0得y=-3,∴(0,-3)。 ∵抛物线的对称轴是直线x=-1,圆心M在直线x=-1上, ∴设M(-1,n),作MG⊥x轴于G,MH⊥y轴于H,连接MC、MB。 ∴MH=1,BG=2。 ∵MB=MC,∴BG 2 +MG 2 =MH 2 +CH 2 , 即4+n 2 =1+(3+n) 2 ,解得n=-1。∴点M(-1,-1)。 (3)如图,由M(-1,-1),得MG=MH。 ∵MA=MD,∴Rt△AMG≌RtDMH。∴∠1=∠2。 由旋转可知∠3=∠4, ∴△AME≌△DMF。 若△DMF为等腰三角形,则△AME为等腰三角形。 设E(x,0),△AME为等腰三角形,分三种情况: ①AE=AM= ,则x= -3,∴E( -3,0)。 ②∵M在AB的垂直平分线上,∴MA=ME=MB,∴E(1,0)。 ③点E在AM的垂直平分线上,则AE=ME, AE=x+3,ME 2 =MG 2 +EG 2 =1+(-1-x) 2 , ∴(x+3) 2 =1+(-1-x) 2 ,解得x= ,∴E( ,0)。 ∴所求点E的坐标为( -3,0),(1,0),( ,0)。 |
(1)将点(b-2,2b 2 -5b-1)代入抛物线解析式,求出未知数,从而得到抛物线的解析式。 (2)利用垂径定理及勾股定理,求出点M的坐标。 (3)首先,证明△AME≌△DMF,从而将“△DMF为等腰三角形”的问题,转化为“△AME为等腰三角形”的问题;其次,△AME为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论,逐一解析计算。 |
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