（2014•南充二模）如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=12x2+bx-2的图象经过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称

Question

（2014•南充二模）如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=(1)/(2)x²+bx-2的图象经过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，

∠OAB＝∠ACD

AB＝AC

∠OBA＝∠CAD

∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=(1)/(2)x²+bx-2上，
∴1=(1)/(2)×9+3b-2，解得：b=-(1)/(2)．
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x²-(1)/(2)x-2，
；

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=√(5)．
∴S_△ABC=(1)/(2)AB²=(5)/(2)．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴

b＝2

3k+b＝1

，
解得k=-(1)/(3)，b=2，
∴y=-(1)/(3)x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=

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作业帮用户 2016-12-15 举报

问题解析

（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S_△CEF=(1)/(2)S_△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．

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