（2013•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cmB．36cmC．20cmD．16cm

Question

（2013•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10√(5)cm，且tan∠EFC=(3)/(4)，那么该矩形的周长为（　　）

A．72cm
B．36cm
C．20cm
D．16cm

Answer 1

在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵tan∠EFC=(3)/(4)，
∴设BF=3x、AB=4x，
在Rt△ABF中，AF=√(AB2+BF2)=√((4x)2+(3x)2)=5x，
∴AD=BC=5x，
∴CF=BC-BF=5x-3x=2x，
∵tan∠EFC=(3)/(4)，
∴CE=CF•tan∠EFC=2x•(3)/(4)=(3)/(2)x，
∴DE=CD-CE=4x-(3)/(2)x=(5)/(2)x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即（5x）²+（(5)/(2)x）²=（10√(5)）²，
整理得，x²=16，
解得x=4，
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，
矩形的周长=2（16+20）=72cm．
故选A．