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(2012•许昌县一模)如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ASCD.设AB=2.(I)证明:AB⊥平面VAD;(II)若E是VA上的动点,当面DCE⊥面VAB时,求三棱锥V-EC
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(2012•许昌县一模)如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ASCD.设AB=2.
(I)证明:AB⊥平面VAD;
(II)若E是VA上的动点,当面DCE⊥面VAB时,求三棱锥V-ECD的体积.
(I)证明:AB⊥平面VAD;
(II)若E是VA上的动点,当面DCE⊥面VAB时,求三棱锥V-ECD的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:平面VAD⊥平面ABCD,底面是正方形,∴AB⊥AD,
AB⊂平面ABCD,
平面VAD∩平面ABCD=AD,
∴AB⊥面VAD.4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AB⊥平面VAD,
∴CD⊥平面VAD.
∴平面VAD⊥平面ECD.
又∵△VAD是正三角形,
∴当E是VA的中点时,ED⊥VA.
∴VA⊥平面EDC.
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积,
VC−VED=
•S△VED•DC=
×
×
×1×2=
.12分
AB⊂平面ABCD,
平面VAD∩平面ABCD=AD,
∴AB⊥面VAD.4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AB⊥平面VAD,
∴CD⊥平面VAD.
∴平面VAD⊥平面ECD.
又∵△VAD是正三角形,
∴当E是VA的中点时,ED⊥VA.
∴VA⊥平面EDC.
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积,
VC−VED=
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