（2013•保定二模）如图，正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：BE⊥AF；（2）若正方形ABCD的边长为4，EH⊥DG，垂足为H，且GODE=45，求DE的

Question

（2013•保定二模）如图，正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：BE⊥AF；
（2）若正方形ABCD的边长为4，EH⊥DG，垂足为H，且(GO)/(DE)=(4)/(5)，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且DE=CF，
∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵在△ABE和△DAF中，

AE＝DF

∠BAE＝∠ADF＝90°

AB＝AD

，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AOB=90°，即AF⊥BE；

（2）∵EH⊥DG，显然四边形EOGH为矩形，
∴EH=OG，
∴(OG)/(DE)=(EH)/(DE)=(4)/(5)，
又知∠EDH=∠DFA（同角的余角相等），
∴sin∠EDH=sin∠DFA=(4)/(5)，
∴在Rt△ADF中，(AD)/(AF)=(4)/(5)，
又∵AD=4，
∴AF=5，
由勾股定理得DF=3，
∴DE=CF=4-3=1．