（2012•盐城一模）已知数列{an}满足a1＝a(a＞0，a∈N*)，a1+a2+…+an-pan+1=0（p≠0，p≠-1，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若对每一个正整数k，若将ak+1，ak+2，ak+3按从小到大的顺序排

Question

（2012•盐城一模）已知数列{a_n}满足a1＝a(a＞0，a∈N*)，a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0（p≠0，p≠-1，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若对每一个正整数k，若将a_k+1，a_k+2，a_k+3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d_k．
①求p的值及对应的数列{d_k}．
②记S_k为数列{d_k}的前k项和，问是否存在a，使得S_k＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，
所以n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，两式相减，得(an+1)/(an)＝(p+1)/(p)(n≥2)，
故数列{a_n}从第二项起是公比为(p+1)/(p)的等比数列…（3分）
又当n=1时，a₁-pa₂=0，解得a2＝(a)/(p)，
从而an＝

a

(a)/(p)((p+1)/(p))n−2

(n＝1)

(n≥2)

…（5分）
（2）①由（1）得ak+1＝(a)/(p)((p+1)/(p))k−1，ak+2＝(a)/(p)((p+1)/(p))k，ak+3＝(a)/(p)((p+1)/(p))k+1，
[1]若a_k+1为等差中项，则2a_k+1=a_k+2+a_k+3，
即(p+1)/(p)＝1或(p+1)/(p)＝−2，解得p＝−(1)/(3)…（6分）
此时ak+1＝−3a(−2)k−1，ak+2＝−3a(−2)k，
所以dk＝|ak+1−ak+2|＝9a•2k−1…（8分）
[2]若a_k+2为等差中项，则2a_k+2=a_k+1+a_k+3，即

作业帮用户 2017-11-09 举报

问题解析

（1）因为a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，两式相减，得(an+1)/(an)＝(p+1)/(p)(n≥2)，从而可知数列{a_n}从第二项起是公比为(p+1)/(p)的等比数列，由此可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）①由（1）得ak+1＝(a)/(p)((p+1)/(p))k−1，ak+2＝(a)/(p)((p+1)/(p))k，ak+3＝(a)/(p)((p+1)/(p))k+1，再进行分类讨论：
[1]若a_k+1为等差中项，则2a_k+1=a_k+2+a_k+3；[2]若a_k+2为等差中项，则2a_k+2=a_k+1+a_k+3，；[3]若a_k+3为等差中项，则2a_k+3=a_k+1+a_k+2，从而可求p的值及对应的数列{d_k}；
②分类讨论，计算S_k，利用S_k＜30，建立不等式，再分离参数，由此可求满足题意的最大正整数．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；等比关系的确定；等差数列的性质．

考点点评：

本题重点考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数法的运用，综合性较强，有难度．

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