（2014•宿迁模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF=3，且当直线l⊥x轴时，PQ=3．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP，A

Question

（2014•宿迁模拟）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若AF=3，且当直线l⊥x轴时，PQ=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，问k₁k₂是否为定值？并证明你的结论；
（3）记△APQ的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），c＞0，则a²=b²+c²，…①
由AF=3，得a+c=3，…②
又当直线l⊥x轴时，P，Q的横坐标为c，将x=c代入(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1中，得y＝±(b2)/(a)，
则PQ＝(2b2)/(a)＝3，…③
联立①②③，解得a²=4，b²=3，c²=1，
所以椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．                   
（2）k₁k₂为定值−(1)/(4)．证明如下：
显然，直线PQ不与y轴垂直，可设PQ的方程为x=my+1，
联立椭圆方程(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，消去x并整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
又设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韦达定理得

y1+y2＝−(6m)/(3m2+4)

y1y2＝(−9)/(3m2+4)

从而x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）=(8)/(3m2+4)，x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=(−12m2+4)/(3m2+4)，
所以k1k2＝(y1y2)/((x1+2)(x2+2))＝(y1y2)/(x1x2+2(x1+x2)+4)=((−9)/(3m2+4))/((−12m2+4)/(3m2+4)+(16)/(3m2+4)+4)=(−9)/(36)＝−(1)/(4)，
即k1k2＝−(1)/(4)，故得证．                      
（3）由（2）知，

y1+y2＝−(6m)/(3m2+4)

y1y2＝(−9)/(3m2+4)

所以S＝(1)/(2)AF•|y1−y2|＝(3)/(2)|y1−y2|=(3)/(2)√((y1+y2)2−4y1y2)
=(3)/(2)√((−(6m)/(3m2+4))2+(36)/(3m2+4))=18√((m2+1)/((3m2+4)2))=18√((m2+1)/(9(m2+1)2+6(m2+1)+1))
=18√((1)/(9(m2+1)+(1)/(m2+1)+6))．
令t=m²+1，t≥1，
则S＝(18)/(√(9t+(1)/(t)+6))（t≥1），设函数g(t)＝9t+(1)/(t)（t≥1），
由(9t+(1)/(t))′＝9−(1)/(t2)=(9t2−1)/(t2)＞0知，g（t）在[1，+∞）上为增函数，
得t=1，即m=0时，[g(t)]min＝9×1+(1)/(1)＝10，
此时S取得最大值为(18)/(√(10+6))=(9)/(2)．