（2014•南通模拟）设函数f（x）满足f（x）=f（3x），且当x∈[1，3）时，f（x）=lnx．若在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(x3)x3=t，则实数t的取值范围为（ln39，13

Question

（2014•南通模拟）设函数f（x）满足f（x）=f（3x），且当x∈[1，3）时，f（x）=lnx．若在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x₁，x₂，x₃，使得(f(x1))/(x1)=(f(x2))/(x2)=(f(x3))/(x3)=t，则实数t的取值范围为

（(ln3)/(9)，(1)/(3e)）

（(ln3)/(9)，(1)/(3e)）

．

Answer 1

设x∈[3，9），则(x)/(3)∈[1，3），
∵x∈[1，3），f（x）=lnx，
∴f（(x)/(3)）=ln(x)/(3)，
∵函数f（x）满足f（x）=f（3x），
∴f（x）=

lnx，	1≤x≤3
ln(x)/(3)，	3≤x＜9

，
∵在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x₁，x₂，x₃，使得(f(x1))/(x1)=(f(x2))/(x2)=(f(x3))/(x3)=t，
∴f（x）-tx=0在区间[1，9）上有三个解，
则y=t与h（x）=(f(x))/(x)的图象有三个交点，
当x∈[1，3），h（x）=(f(x))/(x)=(lnx)/(x)，则h′（x）=(1−lnx)/(x)=0，解得x=e，
∴当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，
当x∈（e，3）时，h′（x）＜0即函数h（x）=(f(x))/(x)在[1，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，
∴当x=e处，函数h（x）=(f(x))/(x)在[1，3）上取最大值是(1)/(e)，
当x∈[3，9），h（x）=(f(x))/(x)=(ln(x)/(3))/(x)，则h′（x）=

作业帮用户 2016-12-15 举报

问题解析

可以根据函数f（x）满足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-tx有三个不同零点，可转化成“f（x）-tx=0在区间[1，9）上有三个解，利用数形结合，即可求出所求．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，同时考查了运算求解的能力，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于难题．

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