（2014•芜湖模拟）如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．（1）求证：EA⊥EC；（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．①

Question

（2014•芜湖模拟）如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．
    ①试证：EF∥AB；
    ②若EF=1，求三棱锥E-ADF的体积．

Answer 1

（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC；
（2）①证明：∵AB∥CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED，
∴AB∥面CED，
∵AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF
∴AB∥EF；
②取AB中点O，EF的中点O′，
在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=(1)/(2)，∴OO′=(√(3))/(2)
∵BC⊥面ABE，AD∥BC
∴AD⊥平面ABE
∴V_E-ADF=V_D-AEF=(1)/(3)S△AEF•AD=(1)/(3)•(1)/(2)•EF•OO′•AD=(√(3))/(12)