（2010•巢湖模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N*．令bn=an+1-2an．且a1=1．求数列{bn}的通项公式；若f（x）=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn，计算f′（1）的结果．

Question

（2010•巢湖模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N^*．令b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1．求数列{b_n}的通项公式；若f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，计算f′（1）的结果．

Answer 1

（1）依题意可得s_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3
∴当n≥2时，s_n=4a_n-1+3，
两式相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）即b_n=2b_n-1（n≥2）
∴{b_n}是公比为2的等比数列，又b₁=a₂-2a₁=4
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹
（2）f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ
∴f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1
∴f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n
由（1）解知f′（1）=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
∴f′（1）是{n•2ⁿ⁺¹}的前n项和，
错位相减法得f′（1）=4+（n-1）•2ⁿ⁺²