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在数列,Sn是数列{an}的前n项和.当n≥2且n∈N*时,Sn+1(Sn+1-2Sn)+(2Sn-Sn-1)Sn-1=1,令.(1)求数列{an}的通项公式;(2)试用n和bn表示bn+1;(3)若b1=1,n∈N*,证明:.
题目详情
在数列,Sn是数列{an}的前n项和.当n≥2且n∈N*时,Sn+1(Sn+1-2Sn)+(2Sn-Sn-1)Sn-1=1,令.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)试用n和bn表示bn+1;
(3)若b1=1,n∈N*,证明:.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)试用n和bn表示bn+1;
(3)若b1=1,n∈N*,证明:.
▼优质解答
答案和解析
(1)由Sn+1(Sn+1-2Sn)+(2Sn-Sn-1)Sn-1=1化简可得数列{an2}是首项为1,公差为1的等差数列,求出通项公式开方可得数列{an}的通项公式;
(2)根据bn的通项公式得到bn+1的通项,然后相减得,移项化简可得bn+1;
(3)当n=1时,不等式成立;当n≥2时,列举bn各项化简不等式的左边,然后当k≥2时,利用即可得证.
【解析】
(1)由Sn+1(Sn+1-2Sn)+(2Sn-Sn-1)Sn-1=1
得(Sn+1-Sn)2-(Sn-Sn-1)2=1,即an+12-an2=1(n≥2,n∈N*)
∴数列{an2}是首项为1,公差为1的等差数列
于是,∴
(2)当n≥2时,∵
∴.
∴∴
(3)当n=1时,,不等式成立;
当n≥2时,由(1)得
∴
又当k≥2时,
∴
于是当n≥2时,
综上所述,对一切n∈N*,不等式都成立.
(2)根据bn的通项公式得到bn+1的通项,然后相减得,移项化简可得bn+1;
(3)当n=1时,不等式成立;当n≥2时,列举bn各项化简不等式的左边,然后当k≥2时,利用即可得证.
【解析】
(1)由Sn+1(Sn+1-2Sn)+(2Sn-Sn-1)Sn-1=1
得(Sn+1-Sn)2-(Sn-Sn-1)2=1,即an+12-an2=1(n≥2,n∈N*)
∴数列{an2}是首项为1,公差为1的等差数列
于是,∴
(2)当n≥2时,∵
∴.
∴∴
(3)当n=1时,,不等式成立;
当n≥2时,由(1)得
∴
又当k≥2时,
∴
于是当n≥2时,
综上所述,对一切n∈N*,不等式都成立.
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