（2014•安庆二模）已知函数f（x）=x+ax+lnx，（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a≥2时，若存在x1、x2（x1≠x2），使得曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的切线互相平行，

Question

（2014•安庆二模）已知函数f（x）=x+(a)/(x)+lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a≥2时，若存在x₁、x₂（x₁≠x₂），使得曲线y=f（x）在x=x₁与x=x₂处的切线互相平行，求证：x₁+x₂＞8．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x+(a)/(x)+lnx，（a∈R），
∴f′(x)＝1−(a)/(x2)+(1)/(x)＝(x2+x−a)/(x2)，x∈（0，+∞）．
由x²+x-a对应的方程的△=1+4a知，
①当a≤−(1)/(4)时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
②当−(1)/(4)＜a≤0时，x²+x-a=0的两根均非正，
因此，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
③当a＞0时，x²+x-a=0有一正根x＝(−1+√(1+4a))/(2)，
当x∈(0，(−1+√(1+4a))/(2))时，f′（x）＜0，f（x）在(0，(−1+√(1+4a))/(2))上递减，
当x∈((−1+√(1+4a))/(2)，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）在((−1+√(1+4a))/(2)，+∞)上递增．
此时f（x）有最小值．
∴实数a的范围为a＞0；
（Ⅱ）证明：依题意：