（08年泉州一中适应性练习文）（12分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦

Question

（ 08 年泉州一中 适应性练习 文） （ 12 分）已知椭圆 C ： ＋ ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A ， B 两点， N 为弦 AB 的中点。

（ 1 ）求直线 ON （ O 为坐标原点）的斜率 K _ON ；

（ 2 ）对于椭圆 C 上任意一点 M ，试证：总存在角 （ ∈ R ）使等式： ＝ cos ＋ sin 成立。

Answer 1

解析：（ 1 ）设椭圆的焦距为 2 c 因为 ，所以有 ，故有 。从而椭圆 C 的方程可化为：       ①                      ……… 2 分

易知右焦点 F 的坐标为（ ），

据题意有 AB 所在的直线方程为：    ②                      ……… 3 分

由①，②有：          ③

设 ，弦 AB 的中点 ，由③及韦达定理有：

 

所以 ，即为所求。                                     ……… 5 分

2 ）显然 与 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量 ，有且只有一对实数 ，使得等式 成立。设 ，由 1 ）中各点的坐标有：

，所以

。                                    ……… 7 分

又点在椭圆 C 上，所以有 整理为 。            ④

由③有： 。所以

   ⑤

又 A B 在椭圆上，故有                 ⑥

将⑤，⑥代入④可得： 。                                 ……… 11 分

对于椭圆上的每一个点 ，总存在一对实数，使等式 成立，而

在直角坐标系 中，取点 P （ ），设以 x 轴正半轴为始边，以射线 OP 为终边的角为 ，显然 。

也就是：对于椭圆 C 上任意一点 M ，总存在角 （ ∈ R ）使等式： ＝ cos ＋ sin 成立。                                                  ……… 12 分