（2014•北海模拟）已知函数f（x）=-x2+2lnx与g（x）=x+ax有相同的极值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对于∀x1，x2∈[1e，3]，不等式f(x1)−g(x2)k−1≤1恒成立，求实数k的取值范围．

Question

（2014•北海模拟）已知函数f（x）=-x²+2lnx与g（x）=x+(a)/(x)有相同的极值点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若对于∀x₁，x₂∈[(1)/(e)，3]，不等式(f(x1)−g(x2))/(k−1)≤1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=-2x+(2)/(x)=-(2(x+1)(x−1))/(x)（x＞0），
由

f′(x)＞0

x＞0

得0＜x＜1；
由

f′(x)＜0

x＞0

得x＞1．
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，∴x=1是函数f（x）的极大值点．
∵g（x）=x+(a)/(x)，∴g′（x）=1-(a)/(x2)，
又∵函数f（x）与g（x）=x+(a)/(x)有相同极值点，
∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．
经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=-x²+2lnx-x-(1)/(x)，x∈[(1)/(e)，3]．
则h′(x)＝−2x+(2)/(x)−1+(1)/(x2)=−((x+1)(2x+1)(x−1))/(x2)，令h′（x）=0，解得x=1．
当x∈[(1)/(e)，1)时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（1，3]时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．
∴当x=1时，函数h（x）取得极大值h（1）=-3．h（3）=−(37)/(3)+2ln3，h