（2013•河池）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．

Question

（2013•河池）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是______．

Answer 1

设BE=x，则EC=4-x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴(AB)/(EC)=(BE)/(FC)，即(4)/(4−x)=(x)/(FC)，解得FC=(x(4−x))/(4)，
∴DF=4-FC=4-(x(4−x))/(4)=(1)/(4)x²-x+4=(1)/(4)（x-2）²+3
当x=2时，DF有最小值3，
∵AF²=AD²+DF²，
∴AF的最小值为√(42+32)=5．
故答案为：5．